第二章 利率與金融資產(chǎn)定價(jià)

第一節(jié) 利率的計(jì)算

一、利率概述

(一)利率的涵義

1.利率是利息率的簡稱，指借貸期間所形成的利息額與本金的比率，是借貸資本的價(jià)格。

2.利率的種類

二、單利與復(fù)利

利息的計(jì)算分單利與復(fù)利

(一)單利：是不論借款期限的長短，僅按本金計(jì)算利息，上期本金所產(chǎn)生的利息不記入下期計(jì)算利息，即利息不重復(fù)計(jì)算利息的計(jì)息方法。其本利和是：

S＝P(1＋r·n)

其中，S為本利和，P為本金，r為利率，n為存期;我國銀行存款的利息是按單利計(jì)算。

I＝P·r·n 利息額與本金、利率、時(shí)間呈線性關(guān)系

例：P＝100，r＝6%(年利率)，n＝1、2、3(年)……

則：I1＝100·6%·1

I2＝100·6%·2＝12

I3＝100·6%·3＝18……

【例1·單選題】投資者用100萬元進(jìn)行為期5年的投資，年利率為5%，一年計(jì)息一次，按單利計(jì)算，則5年末投資者可得到的本息和為( )萬元。

A.110

B.120

C.125

D.135

【正確答案】C

【答案解析】本題考查單利計(jì)算本息和。100×(1＋5%×5)＝125萬元。

(二)復(fù)利：也稱利滾利，就是將上期利息并入本金并一并計(jì)算利息的一種方法。

1.一年付息一次(一年復(fù)利一次)

其本利和是：

S＝P(1＋r)n

其中，S為本利和，P表示本金，r表示利率，n表示時(shí)間。

I＝S－P＝P(1＋r)n－P＝P[(1＋r)n－1]

例：P＝100，r＝6%(年利率)，n＝1、2、3(年)……

I1＝S1－P1＝100(1＋6%)－100＝6

I2＝S2－P2＝100(1＋6%)2－100＝12.36>12

I3＝S3－P3＝100(1＋6%)3－100＝19.10>18……

I為利息額。利息額與利率、時(shí)間呈非線性關(guān)系(只與本金呈線性關(guān)系)

期值：在未來某一時(shí)點(diǎn)上的本利和，也稱為“終值”。其計(jì)算式就是復(fù)利本利和的計(jì)算式。

單利終值：S＝P(1＋r·n)

復(fù)利終值：S＝P(1＋r)n

2.一年付息多次(一年復(fù)利多次)

例：假設(shè)100元的存款以6%的年利率每半年支付一次利息，也就是說6個(gè)月的收益是6%的一半，即3%。

6個(gè)月末的終值為：FV＝100×(1＋0.06/2)＝103

年末的期值為：100×(1＋0.06/2)×(1＋0.06/2)＝100×(1＋0.06/2)2＝106.09

說明：第二期比第一期的終值多0.09元，是因?yàn)閷Φ谝黄诘?元的利息也計(jì)息的結(jié)果。如果一年中復(fù)利計(jì)算的次數(shù)增加的話，年末終值會(huì)越來越大。

【例2·單選題】某人在銀行存入10萬元，期限2年，年利率為6%，每半年支付一次利息，如果按復(fù)利計(jì)算，2年后的本利和是( )萬元。

A.11.20

B.11.26

C.10.26

D.10.23

【正確答案】B

【答案解析】本題考查年末期值計(jì)算公式FVn＝P(1＋r/m)nm。年利率是6%，每半年支付一次利息，那么2年的本利和就是10×(1＋6%/2)4＝11.26萬元。

(三)連續(xù)復(fù)利

表2-1 不同時(shí)間連續(xù)復(fù)利的期值

期值變化規(guī)律：

(1)每年計(jì)息次數(shù)越多，終值越大

(2)隨計(jì)息間隔的縮短(計(jì)息次數(shù)的增加)，終值以遞減速度增加，最后等于連續(xù)復(fù)利的終值。

三、現(xiàn)值

現(xiàn)值，也稱在用價(jià)值，是現(xiàn)在和將來的一筆支付或支付流在今天的價(jià)值。

如果把未來某一時(shí)點(diǎn)上一定金額的貨幣看作是現(xiàn)在一定金額的本利和，那么現(xiàn)值就是按現(xiàn)行利率計(jì)算出的要取得這樣金額的本利和在眼下所必須具有的本金數(shù)。這個(gè)逆算出來的本金稱“現(xiàn)值”，也稱“貼現(xiàn)值”。

(一)系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值

假如我們有一系列的現(xiàn)金流，第一年末是100，第二年未是200，第三年末是200，第四年末是300，若折現(xiàn)率為8%，這一系列現(xiàn)金流的現(xiàn)值可以通過每筆資金現(xiàn)值的加總得到。

第一年末收入的100元的現(xiàn)值：100/(1+8%)=92.59

第二年末收入的200元的現(xiàn)值：200/(1+8%)2=171.47

第三年末收入的200元的現(xiàn)值：200/(1+8%)3=158.77

第四年末收入的300元的現(xiàn)值：300/(1+8%)4=220.51

總現(xiàn)值：643.34

所以，一系列的現(xiàn)金流的現(xiàn)值公式：

Ai表示第i年末的現(xiàn)金流量(Ai相當(dāng)于FVi)，i=1,2,3…，n。

(二)連續(xù)復(fù)利下的現(xiàn)值

1.一年支付m次利息

假如一年之內(nèi)支付利息的次數(shù)為m次，則利息率為r/m，則此時(shí)的現(xiàn)值公式為：

PV= 即(2-5)式的逆運(yùn)算。式中An表示第n年末的現(xiàn)金流量(相當(dāng)于 )，m為年計(jì)息次數(shù)，r是貼現(xiàn)率。

例：如果三年后可收到100元，貼現(xiàn)率為8%，且一季計(jì)息一次，則現(xiàn)在值多少錢?

【正確答案】

2.連續(xù)計(jì)息的情形(連續(xù)復(fù)利)

如果式中m趨于∞，則(1+r/m)nm趨于ern，因此，如果連續(xù)復(fù)利，那么現(xiàn)值的計(jì)算公式為：

即(2-6)式的逆運(yùn)算

例：如果三年后可收到100元，貼現(xiàn)率為8%，連續(xù)復(fù)利，則現(xiàn)在值多少錢?

【正確答案】

現(xiàn)值變化規(guī)律：

(1)每年計(jì)息次數(shù)越多，現(xiàn)值越小;而每年計(jì)息次數(shù)越多，終值越大。

(2)隨計(jì)息間隔的縮短(計(jì)息次數(shù)的增加)，現(xiàn)值以遞減速度減小，最后等于連續(xù)復(fù)利的現(xiàn)值。